simulado IME ciclo 1 - matemática questão 8 letra a

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Mensagem por douglasfogo em Dom 09 Mar 2008, 00:55

questão 8:
a) Sendo a,b,c números reais não-nulos, determine o valor numérico de

a(b+c-a)²+b(a+c-b)²+c(a+b-c)²+(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=
abc

desenvolvendo todos os quadrados e multiplicando todos os termos teremos:

=(a³+ab²+ac²-2a²b-2a²c+2abc+a²b+b³+bc²-2b²c-2ab²+2abc+a²c+b²c+c³-2ac²-2bc²+2abc-a³+a²c-b³+b²c+ac²+bc²-c³-2abc+a²b+ab²)(1/abc)=

quase todos os termos se cancelarão e teremos :

=(2abc+2abc)/abc = 4abc/abc = 4

provavelmente haviam soluções mais rápidas mas na hora nao consegui fatorar e fui por esse caminho mesmo se alguém tiver feito de outra maneira poste aí tb como réplica ou faça um novo tópico
bons estudos , vlw
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Mensagem por Matheus Araújo em Dom 09 Mar 2008, 18:07

Um jeito eficiente de resolver seria fazendo a seguinte troca de variáveis :

a + b - c = x
b + c - a = y
c + a - b = z

Com isso dá pra tirar a,b e c em função de x,y e z, e as contas ficam mais viáveis.

Abraços .
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Mensagem por douglasfogo em Dom 09 Mar 2008, 18:45

boa idéia mas como ficaria a resolução?
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Mensagem por Matheus Araújo em Dom 09 Mar 2008, 20:40

Substituindo ficaria algo assim :

4.[(2xyz + x²(y + z) + y²(x + z) + z²(x + y)) : (x + y)(y + z)(x + x)]

Aí as contas não ficam tão escrotas, só fazer a distributiva. Smile

Abraços .
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