questão indução

Oi pessoal! Só pra registrar meu cadastro estou postando uma questão que envolve indução. Tentarei, na medida do possível, ajudar nas dúvidas sobre a apostila.
"Prove que ((2^2^n) - 1) possui ao menos (n) divisores primos distintos."
Abraço.

A propósito, como faço pra mudar essa figura aí do lado?

Pra colocar uma foto, clique em "Perfil", depois em "Avatar" e daí é só alterar.
Não dei muitos detalhes, mas se quiser saber mais pode consultar o FAQ.

Não entendi o enunciado da questão direito.
É ((2 elevado à 2 elevado à n) - 1)?
hehe, não encontrei outro jeito de escrever isso...

Poxa rapaziada, estou estudando indução direto, mas não consigo fazer os exercícios com perfeição e o pior que provavelmente deve ser uma ferramenta muito útil para a continuidade de algum tipo de assunto.
Me ajudem aí?

Dudu a parada é o seguinte, areceita de bolo de uma questão de indução á assim:

(Enunciado da questão)
Fazendo uso do Principio da Indução Finita, temos

(aqui você escolhe o primeiro do seu conjunto que convenha para a sua prova, geralmente 1 ou 0) "Para n=1" ou "Para n=0, temos"

(se não deu para perceber o padrão e o funcionamento do q será provado faça aqui outros n's)

(já aqui você já vai direto para n=k, só substitui)"Para n=k, temos"

(aqui vc põe n=k+1, substituindo mais uma vez)"Para n=k+1, temos"

(aqui você para e analisa. o objetivo da indução é você mostrar que o caso n acrescido de alguma coisa dos dois lados ou multiplicado por alguma coisa dos dois lados, resultará no caso n+1 )
(aqui você escreve a sua conclusão indicando o que foi adicionado e alterado)

(no final vc, só de estilo, põe) "C.Q.D."

Fim da demonstração!

OBS1: Ao inves de k e k+1 pode ser usado k-1 e k, nessa ordem.

OBS2: PIF com desigualdades é meio pegadinha porque vc tem que apenas manter a desigualdade e mostrar que ela continua "maior que ou menor que a outra parte".

Espero que tenha ajudado

Oi pessoal. Aí vai a solução:
Primeiro colocamos n=1: 2^2^1 - 1=4 - 1 = 3.
Logo o número 3 possui ao meos n=1 divisores primos (o próprio 3).
Como eu sempre digo, pra vcs acreditarem q o q o problema está dizendo é verdade, é bom testar mais casos. Vou colocar n=3: 2^2^3 - 1=2^8 - 1=256 - 1=255. O 255 possui ao menos n=3 divisores primos, o 3, o 5 e o 17.
Agora adotamos q o q o enunciado está dizendo é verdade (hipótese de indução).
Então a tese fica (o q nós queremos muito q seja verdade): 2^2^(n+1) - 1. Aplicando a diferença entre quadrados ficamos com: (2^2^n - 1)(2^2^n +1).
Reparem que o primeiro fator desse produto é a hipótese de indução, logo sabemos que a tese já possui ao menos n divisores primos. Mas nós queremos q a tese tenha n+1 divisores primos. Portanto nosso problema se reduz a demonstrar que os fatores "2^2^n - 1" e "2^2^n + 1" não são coprimos, ou seja, q o cara "2^2^n + 1" possui ao menos um fator primo diferente da hipótese. Para isso, podemos escrever:
a = 2^2^n - 1
b = 2^2^n +1
Olhando pro MDC:
a = MDC(a,b).K
b = MDC(a,b).K'
Como: a - b = MDC(a,b).(K-K'), sendo K e K' inteiros.
Sabemos que o MDC(a,b) divide a subtração dos dois.
Mas tb sabemos que "a" e "b" são ímpares consecutivos, logo: a - b = 2.
Concluímos que: MDC(a,b).(K-K')=2.
Como "K-K'" é um inteiro temos que, obrigatoriamente, o MDC(a,b) é divisor do número 2 e ao mesmo tempo o MDC deles não pode ser o 2, logo MDC(a,b)=1. Então "a" e "b" são primos entre si. CQD

Claudio escreveu:Oi pessoal. Aí vai a solução:
Primeiro colocamos n=1: 2^2^1 - 1=4 - 1 = 3.
Logo o número 3 possui ao meos n=1 divisores primos (o próprio 3).
Como eu sempre digo, pra vcs acreditarem q o q o problema está dizendo é verdade, é bom testar mais casos. Vou colocar n=3: 2^2^3 - 1=2^8 - 1=256 - 1=255. O 255 possui ao menos n=3 divisores primos, o 3, o 5 e o 17.
Agora adotamos q o q o enunciado está dizendo é verdade (hipótese de indução).
Então a tese fica (o q nós queremos muito q seja verdade): 2^2^(n+1) - 1. Aplicando a diferença entre quadrados ficamos com: (2^2^n - 1)(2^2^n +1).
Reparem que o primeiro fator desse produto é a hipótese de indução, logo sabemos que a tese já possui ao menos n divisores primos. Mas nós queremos q a tese tenha n+1 divisores primos. Portanto nosso problema se reduz a demonstrar que os fatores "2^2^n - 1" e "2^2^n + 1" não são coprimos, ou seja, q o cara "2^2^n + 1" possui ao menos um fator primo diferente da hipótese. Para isso, podemos escrever:
a = 2^2^n - 1
b = 2^2^n +1
Olhando pro MDC:
a = MDC(a,b).K
b = MDC(a,b).K'
Como: a - b = MDC(a,b).(K-K'), sendo K e K' inteiros.
Sabemos que o MDC(a,b) divide a subtração dos dois.
Mas tb sabemos que "a" e "b" são ímpares consecutivos, logo: a - b = 2.
Concluímos que: MDC(a,b).(K-K')=2.
Como "K-K'" é um inteiro temos que, obrigatoriamente, o MDC(a,b) é divisor do número 2 e ao mesmo tempo o MDC deles não pode ser o 2, logo MDC(a,b)=1. Então "a" e "b" são primos entre si. CQD

só fazendo uma correção b > a --> b - a = 2 --> MDC(a,b).(K'-K)=2

só não entendi a ultima frase pq não lembro direito o q são números primos entre si e como isso resolve o problema se alguem souber aí dá uma ajuda aí
vlw

Obrigado pela correção.
Cara, dois primos entre si são números inteiros cuja decomposição em fatores primos não apresenta nenhum fator em comum. o q torna o MDC entre eles igual a 1.
Por exemplo:
18=2.3.3
125=5.5
Como não há fatores comuns, eles são primos entre si.

Pro pessoal q quer dar uma treinada a mais em indução, estou postando um link com uma lista q tem desde exercícios fáceis até alguns difíceis. A lista é do site do Grupo Teorema.
Aí vai: http://www.grupoteorema.mat.br/artigos/inducao-1.pdf

Abraços.

bonzaum o site prof

vlw

vlw pela explicação

esses exercicios tem algum site com gabarito e/ou resolução?

Cara, esses exercícios não tem resposta na lista não. Mas qq coisa fale comigo.

Abraço.

realmente é muito bom o site

irei dar uma olhada na parte de induçao pke sinto 1 poco de dificuldade!

outra coisa que estou sentindo muita dificuldade é nos problemas do tipo

"prove ..."

tem algum bizu que voces usam pra tal tipo de problema ? pq realmente nao absorvo muitas coisas das aulas do guto

obrigado!

:*

geralmente temos que comprovar jogando alguns numeros geralmente bem dpstintos logo a pos temos que adicionar um numero maior ou menor dependendo da questão ou seja induçao vc analiza a questão e mostra o que pode ser mais que a verdade se a mais que a verdade funcionar logo a verdade funciona so fazendo mesmo para entender

alguém sabe demonstrar a sequência de fibonacci sem usar recorrência?

de preferência usando indução que eu to sabendo bem...

Sim, douglas.
Mas é uma indução um pouco diferente.. chamada indução forte.
Se vc colocar isso no google, vc acha com certeza.

valeu!

hmm... vo procurar então
vlw