questão indução

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Mensagem por Claudio em Dom 02 Mar 2008, 14:30

Oi pessoal! Só pra registrar meu cadastro estou postando uma questão que envolve indução. Tentarei, na medida do possível, ajudar nas dúvidas sobre a apostila.
"Prove que ((2^2^n) - 1) possui ao menos (n) divisores primos distintos."
Abraço.
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por Claudio em Dom 02 Mar 2008, 14:32

A propósito, como faço pra mudar essa figura aí do lado?
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Mensagem por Vladimir em Seg 03 Mar 2008, 20:17

Pra colocar uma foto, clique em "Perfil", depois em "Avatar" e daí é só alterar.
Não dei muitos detalhes, mas se quiser saber mais pode consultar o FAQ.

Não entendi o enunciado da questão direito.
É ((2 elevado à 2 elevado à n) - 1)?
hehe, não encontrei outro jeito de escrever isso...
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Mensagem por Dudu em Qui 06 Mar 2008, 02:53

Poxa rapaziada, estou estudando indução direto, mas não consigo fazer os exercícios com perfeição e o pior que provavelmente deve ser uma ferramenta muito útil para a continuidade de algum tipo de assunto.
Me ajudem aí?
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por Administrador em Qui 06 Mar 2008, 20:33

Dudu a parada é o seguinte, areceita de bolo de uma questão de indução á assim:

(Enunciado da questão)
Fazendo uso do Principio da Indução Finita, temos

(aqui você escolhe o primeiro do seu conjunto que convenha para a sua prova, geralmente 1 ou 0) "Para n=1" ou "Para n=0, temos"

(se não deu para perceber o padrão e o funcionamento do q será provado faça aqui outros n's)

(já aqui você já vai direto para n=k, só substitui)"Para n=k, temos"

(aqui vc põe n=k+1, substituindo mais uma vez)"Para n=k+1, temos"

(aqui você para e analisa. o objetivo da indução é você mostrar que o caso n acrescido de alguma coisa dos dois lados ou multiplicado por alguma coisa dos dois lados, resultará no caso n+1 )
(aqui você escreve a sua conclusão indicando o que foi adicionado e alterado)

(no final vc, só de estilo, põe) "C.Q.D."

Fim da demonstração!

OBS1: Ao inves de k e k+1 pode ser usado k-1 e k, nessa ordem.

OBS2: PIF com desigualdades é meio pegadinha porque vc tem que apenas manter a desigualdade e mostrar que ela continua "maior que ou menor que a outra parte".

Espero que tenha ajudado

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questão indução Empty solução

Mensagem por Claudio em Sab 08 Mar 2008, 14:51

Oi pessoal. Aí vai a solução:
Primeiro colocamos n=1: 2^2^1 - 1=4 - 1 = 3.
Logo o número 3 possui ao meos n=1 divisores primos (o próprio 3).
Como eu sempre digo, pra vcs acreditarem q o q o problema está dizendo é verdade, é bom testar mais casos. Vou colocar n=3: 2^2^3 - 1=2^8 - 1=256 - 1=255. O 255 possui ao menos n=3 divisores primos, o 3, o 5 e o 17.
Agora adotamos q o q o enunciado está dizendo é verdade (hipótese de indução).
Então a tese fica (o q nós queremos muito q seja verdade): 2^2^(n+1) - 1. Aplicando a diferença entre quadrados ficamos com: (2^2^n - 1)(2^2^n +1).
Reparem que o primeiro fator desse produto é a hipótese de indução, logo sabemos que a tese já possui ao menos n divisores primos. Mas nós queremos q a tese tenha n+1 divisores primos. Portanto nosso problema se reduz a demonstrar que os fatores "2^2^n - 1" e "2^2^n + 1" não são coprimos, ou seja, q o cara "2^2^n + 1" possui ao menos um fator primo diferente da hipótese. Para isso, podemos escrever:
a = 2^2^n - 1
b = 2^2^n +1
Olhando pro MDC:
a = MDC(a,b).K
b = MDC(a,b).K'
Como: a - b = MDC(a,b).(K-K'), sendo K e K' inteiros.
Sabemos que o MDC(a,b) divide a subtração dos dois.
Mas tb sabemos que "a" e "b" são ímpares consecutivos, logo: a - b = 2.
Concluímos que: MDC(a,b).(K-K')=2.
Como "K-K'" é um inteiro temos que, obrigatoriamente, o MDC(a,b) é divisor do número 2 e ao mesmo tempo o MDC deles não pode ser o 2, logo MDC(a,b)=1. Então "a" e "b" são primos entre si. CQD
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Mensagem por douglasfogo em Dom 09 Mar 2008, 18:37

Claudio escreveu:Oi pessoal. Aí vai a solução:
Primeiro colocamos n=1: 2^2^1 - 1=4 - 1 = 3.
Logo o número 3 possui ao meos n=1 divisores primos (o próprio 3).
Como eu sempre digo, pra vcs acreditarem q o q o problema está dizendo é verdade, é bom testar mais casos. Vou colocar n=3: 2^2^3 - 1=2^8 - 1=256 - 1=255. O 255 possui ao menos n=3 divisores primos, o 3, o 5 e o 17.
Agora adotamos q o q o enunciado está dizendo é verdade (hipótese de indução).
Então a tese fica (o q nós queremos muito q seja verdade): 2^2^(n+1) - 1. Aplicando a diferença entre quadrados ficamos com: (2^2^n - 1)(2^2^n +1).
Reparem que o primeiro fator desse produto é a hipótese de indução, logo sabemos que a tese já possui ao menos n divisores primos. Mas nós queremos q a tese tenha n+1 divisores primos. Portanto nosso problema se reduz a demonstrar que os fatores "2^2^n - 1" e "2^2^n + 1" não são coprimos, ou seja, q o cara "2^2^n + 1" possui ao menos um fator primo diferente da hipótese. Para isso, podemos escrever:
a = 2^2^n - 1
b = 2^2^n +1
Olhando pro MDC:
a = MDC(a,b).K
b = MDC(a,b).K'
Como: a - b = MDC(a,b).(K-K'), sendo K e K' inteiros.
Sabemos que o MDC(a,b) divide a subtração dos dois.
Mas tb sabemos que "a" e "b" são ímpares consecutivos, logo: a - b = 2.
Concluímos que: MDC(a,b).(K-K')=2.
Como "K-K'" é um inteiro temos que, obrigatoriamente, o MDC(a,b) é divisor do número 2 e ao mesmo tempo o MDC deles não pode ser o 2, logo MDC(a,b)=1. Então "a" e "b" são primos entre si. CQD

só fazendo uma correção b > a --> b - a = 2 --> MDC(a,b).(K'-K)=2

só não entendi a ultima frase pq não lembro direito o q são números primos entre si e como isso resolve o problema se alguem souber aí dá uma ajuda aí
vlw
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Mensagem por Claudio em Dom 09 Mar 2008, 22:19

Obrigado pela correção.
Cara, dois primos entre si são números inteiros cuja decomposição em fatores primos não apresenta nenhum fator em comum. o q torna o MDC entre eles igual a 1.
Por exemplo:
18=2.3.3
125=5.5
Como não há fatores comuns, eles são primos entre si.
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Mensagem por Claudio em Dom 09 Mar 2008, 22:22

Pro pessoal q quer dar uma treinada a mais em indução, estou postando um link com uma lista q tem desde exercícios fáceis até alguns difíceis. A lista é do site do Grupo Teorema.
Aí vai: http://www.grupoteorema.mat.br/artigos/inducao-1.pdf

Abraços.
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Mensagem por Administrador em Dom 09 Mar 2008, 23:37

bonzaum o site prof

vlw

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Mensagem por douglasfogo em Seg 10 Mar 2008, 01:26

vlw pela explicação
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Mensagem por douglasfogo em Seg 10 Mar 2008, 01:28

esses exercicios tem algum site com gabarito e/ou resolução?
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por Claudio em Ter 18 Mar 2008, 10:54

Cara, esses exercícios não tem resposta na lista não. Mas qq coisa fale comigo.

Abraço.
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Mensagem por fepp em Qua 19 Mar 2008, 20:05

realmente é muito bom o site

irei dar uma olhada na parte de induçao pke sinto 1 poco de dificuldade!

outra coisa que estou sentindo muita dificuldade é nos problemas do tipo

"prove ..."

tem algum bizu que voces usam pra tal tipo de problema ? pq realmente nao absorvo muitas coisas das aulas do guto

obrigado!

:*
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questão indução Empty A questão do claudio é a mais certa

Mensagem por DiasBR em Qua 02 Abr 2008, 22:20

What a Face
geralmente temos que comprovar jogando alguns numeros geralmente bem dpstintos logo a pos temos que adicionar um numero maior ou menor dependendo da questão No ou seja induçao vc analiza a questão e mostra o que pode ser mais que a verdade se a mais que a verdade funcionar logo a verdade funciona Question so fazendo mesmo para entender Like a Star @ heaven @
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por douglasfogo em Sex 18 Abr 2008, 00:36

alguém sabe demonstrar a sequência de fibonacci sem usar recorrência?

de preferência usando indução que eu to sabendo bem...
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por Salim em Dom 20 Abr 2008, 04:11

Sim, douglas.
Mas é uma indução um pouco diferente.. chamada indução forte.
Se vc colocar isso no google, vc acha com certeza.

valeu!
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questão indução Empty Re: questão indução

Mensagem por douglasfogo em Ter 22 Abr 2008, 02:42

hmm... vo procurar então
vlw
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