simulado IME ciclo 1 - matemática questão 2

questão 2: Considere um quadrilátero convexo ABCD. Determine o ponto P interior ao quadrilátero tal que a soma das distâncias de P aos vértices do quadrilátero é mínima. Justifique.

link da imagem:
https://i.servimg.com/u/f49/12/09/69/67/pp11.jpg

sendo X o ponto de encontro das diagonais do quadrilátero e sendo Y um ponto QUALQUER teremos, à partir da figura, por desigualdade triangular que:

l AC l < l AY l + l YC l (I)
e l BD l < l BY l + l YD l (II)

somando (I) com (II) temos que: l AC l + l BD l < l AY l + l YC l + l BY l + l YD l

porém, l AC l + l BD l = l AX l + l XC l + l BX l + l XD l , logo teremos:

l AX l + l XC l + l BX l + l XD l < l AY l + l YC l + l BY l + l YD l e X = P