simulado IME ciclo 1 - matemática questão 7

questão 7:Considere uma progressão aritimética crescente (a,b,c,d) e uma progressão geométrica (a,e,f,d). Sendo X=bc e Y=ef , qual dos dois é maior: X ou Y? Justifique.

PA : a , b , c , d PG: a, e, f ,d

d= a+3r = aq³ --> 3r= a(q³-1) --> r = a(q³-1)/3 (I)

PA crescente --> r>0 --> a(q³-1)/3>0 --> q³-1>0 --> q>1

Y = ef = aq.aq² = a²q³
X= bc = (a+r)(a+2r) = a²+3ar+2r² (II)

substituindo (I) em (II), temos :

X = a² + a²(q³-1) + 2a²(q³-1)²/9 = a²[1+q³-1+2(q³-1)²/9] = a²q³ + 2a²(q³-1)²/9 -->
--> X = Y + 2a²(q³-1)²/9

como q>1 , 2a²(q³-1)/9>0 , logo X > Y

eu ia fazer desse msm jeito, mas lembrei q essa questao eh a msm q o professor celso fez numa aula, soh q escrito diferente

minha soluçao:
a, e, f, d é PG -> ad = ef = Y
a, b, c, d é PA -> a + d = b + c
isolando a: a = b + c - d (1)
Tese: bc > ad (2) (joguei isso pq sabia o resultado, mas se jogasse o inverso, ia chegar numa contradiçao)
substituindo (1) em (2):
bc > (b + c - d)d
bc > bd + cd - d²
bc - cd > bd - d²
c(b - d) > d(b - d) (*)

b - d = -2r (onde r = razão da PA), como a PA é crescente, r > 0

(*) c(-2r) > d(-2r)
-2rc > -2rd
como r > 0, posso cortar, ficando -c > -d -> c < d (uma verdade, logo, a tese tá comprovada, entao bc > ad -> X > Y)

me confundi e provei de uma maneira muito idiota, mas a resposta final foi X>Y

Bom, eu fiz pelo seguinte método, acredito que esteja certo:
Chamarei o termo inicial da PA de z e da PG de w:

PA:
z1 = z - 3r = a
z2 = z - r = b
z3 = z + r = c
z4 = z + 3r = d

PG:
w1 = w.q^-3 = a
w2 = w.q^-1 = e
w3 = w.q¹ = f
w4 = w.q³ = d

bc = (z + r)(z - r) = X = z² - r²
ef = (w.q^-1)(w.q¹) = Y = w²

Temos que ad = (z - 3r)(z + 3r) = z² - 9r²
Sabemos, também, que ad = (w.q^-3)(w.q³)
ad = w² = z² - 9r²

Logo, Y = z² - 9r² e X = z² - r²
Como a PA é crescente, r é positivo, e -r² > -9r²
Portanto, X > Y.
Abraços

só solução manera

PA: a,b,c,d ---> a , a + r , a + 2r , a + 3r
PG: a,e,f,d ----> a, aq, aq², aq³

Igualei os termos "d" da PA e da PG:

d = d
a + 3r = aq³

Depois fiz o que todos fizeram:

Y = ef = aq.aq² = a²q³
X= bc = (a+r)(a+2r) = a²+3ar+2r²

Observe em Y:
Y = a²q³ = (aq³)a

Lá de cima, temos que: (aq³) = a + 3r

logo: Y = (a + 3r)a = a² + 3ar

e como ja foi dito: X = a² + 3ar + 2r²

Como a PA é crescente, r é diferente de 0. Como r² sempre é positivo, 2r² tambem será. temos finalmente que: X > Y