questões de matemática(olimpíada)

aí galera 2 questões que achei na net de olimpíadas (ao menos tava escrito isso qndo copiei) ; vamu fazer aí tb e postando as resoluções que no fds eu posto a minha aqui
vlw abc

1) em uma progressão geométrica de três termos, a soma deles é 19 e a soma dos quadrados deles é 133. Quais são esses termos ?

2)um triângulo tem lados consecutivos e o maior ângulo dele é o dobro do menor .
Qual o menor lado desse triangulo ?

*eu achei as questões exatamente assim só copiei e colei portanto não sei responder sobre erros nos enunciados

caramba ninguém ... vo postar as resoluções então e uma outra que ainda não fiz

1)em uma progressão geométrica de trêz termos, a soma deles é 19 e a soma dos quadrados deles é 133. Quais são esses termos ??

chamando os termos de a, b, c , teremos:

S=a+b+c+=19
e
S'=a²+b²+c²=133

porém sendo a,b,c uma pg, a=b/q e c=b*q, sengo qa razão e q≠0. substituindo nas equações:

b/q+b+b*q=19 --> b(1+q+q²)/q=19 (I) --> b²(1+q+q²)²/q²=19²

b²/q²+b²+b²*q²=133 --> b²(1+q²+q^4)/q²=133 (II)

dividindo (II) por (I) e sabendo que (1+q²+q^4)/(1+q+q²)=(q²-q+1) e 133/19=7, teremos:

7/19=(q²-q+1)/(q²+q+1) ---multiplicando cruzado--> 7q²+7q+7=19q²-19q+19 -->
6q²-13q+6=0 --> q= 3/2 v q= 2/3

substituindo em (I) :
b(1+2/3+4/9)/(2/3)=19 --> b=6 v b(1+3/2+9/4)/(3/2)=19 --> b=6

b=6 --> a=9 e c=4 v b=6 --> a=4 e c=9

concluímos que temos duas progressões que satisfazem as condições, sendo uma crescente ( 4, 6, 9 ) e uma decrescente ( 9, 6, 4 ) e os termos procurados são 4, 6 e 9

2)um triângulo têm lados conscecutivos e o maior ângulo dele é o dobro do menor .
Qual o menor lado desse triangulo ???

chamando-se os lados de x-1, x, x+1; e os ângulos citados de θ e 2θ , podemos calcular a área do triangulo de dois modos:

A=[x(x-1)sen2θ]/2
e A=[x(x+1)senθ]/2 [(A=a*b*senC)/2 pra quem não lembra da formula]

igualando-se as duas equações e cortando os denominadores teremos:
x(x-1)sen2θ=x(x+1)senθ --> (x-1)2senθcosθ=(x+1)senθ --> 2cosθ=(x+1)/(x-1) -->
-->cosθ=(x+1)/2(x-1)

achado o cosθ podemos aplicar a lei dos cossenos uma vez q já sabemos os lados:*

(x-1)²=x²+(x+1)²-2x(x+1)cosθ

**desenvolvendo esse termo chegaremos à : cosθ=(x+4)/2(x+1)

igualando as duas expressoes achadas para cosθ teremos:

(x+4)/2(x+1)=(x+1)/2(x-1) --> x²+2x+1=x²+3x-4 --> x=5

logo os valores dos lados são 4, 5 e 6 e o menor lado vale 4

se alguém fez q ficou com preguiça de postar só confere aí e diz se bateram os resultados
vlw

essa eu não fiz ainda

Achar a razão H/h, onde a figura abaixo representa uma folha quadrada dobrada como na figura. As linhas marcadas representam a "divisão" da folha em 3 partes iguais.
https://i.servimg.com/u/f49/12/29/53/03/delian10.jpg

se alguém fizer e ficar com preguiça só posta o resultado (obs: a resposta é um n° irracional)

vlw bons estudos

po a galera nem ta mais participando desse site pelo jeito ...

vo postar a resolução então

https://i.servimg.com/u/f49/12/29/53/03/delian12.jpg

Os pontos A e B têm coordenadas (xA, yA) = (0, 0) e (xB, yB) = (0, l/3), respectivamente.
Realizando a dobra sobre a linha m, os pontos A e B passam a ocupar as posições A´ e B´, respectivamente, de coordenadas
(xA´, yA´) = (l, h) e (xB´, yB´) = (a, 2l/3), onde a designa a abscissa do ponto B´.
Os pontos A´´ e B´´, sobre a linha de dobra, são os pontos médios dos segmentos AA´ e BB´, respectivamente, e tem coordenadas (xA´´, yA´´) = (l/2, h/2) e (xB´´, yB´´) = (a/2, l/2).


Pela geometria da figura, os três ângulos designados por β, com vértice em A, B, e B´´,
são iguais. Calculemos o valor de tg β em cada caso:

tg β = ( yA´ - yA)/(xA´- xA) = h/l (1)


tg β = (yB´ - yB)/( xB´- yB) = ( l/3)/a = l/3a (2)

tg β = (xA´´ - xB’’)/|(yA´´ - yB´´)| = ( l/2 – a/2)/[-(h/2 – l/2)] =( l – a)/(l – h) (3)


Igualando as equações (1) e (2) obtemos
h/l = l/3a --> a = l²/3h


Similarmente, igualando (1) e (3)

h/l = (l – a)/(l – h)
Substituindo o valor de "a" nesta última equação e operando, resulta em

l³ -3h.l² + 3h².l - 3h³ = 0

que pode ser reescrita na forma
(l – h)³ - 2h³ = 0

Finalmente, substituindo H = l - h obtemos

H³ − 2h³ = 0 --> H/h = 2^(1/3)